長沙理工大學自動裝置技術題庫

⑴ 長沙理工大學考研電路歷年真題答案！！！

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《長沙理工大學考研試題》2013-2014考題。

⑵ 長沙理工大學期末考試，自動控制原理試卷

2
2-1 設質量-彈簧-摩擦系統如圖2-1所示，途中 為黏性摩擦系數， 為彈簧系數，系統的輸入量為力 ，系統的輸出量為質量 的位移 。試列出系統的輸入輸出微分方程。
解：顯然，系統的摩擦力為 ，彈簧力為 ，根據牛頓第二運動定律有

移項整理，得系統的微分方程為

2-2 試列寫圖2-2所示機械系統的運動微分方程。
解：由牛頓第二運動定律，不計重力時，得

整理得

2-3 求下列函數的拉氏變換。
（1）
（2）
（3）
解：（1）

（2）

（3）

2-4 求下列函數的拉氏反變換
（1）
（2）
（3）
解：（1）

（2）

（3）

2-5 試分別列寫圖2-3中各無源網路的微分方程（設電容 上的電壓為 ，電容 上的電壓為 ，以此類推）。

圖2-3 習題2-5 無源網路示意圖
解：（a）設電容 上電壓為 ，由基爾霍夫定律可寫出迴路方程為

整理得輸入輸出關系的微分方程為

（b）設電容 、 上電壓為 ，由基爾霍夫定律可寫出迴路方程為

整理得輸入輸出關系的微分方程為

（c）設電阻 上電壓為 ，兩電容上電壓為 ，由基爾霍夫定律可寫出迴路方程為
（1）
（2）
（3）
（4）
（2）代入（4）並整理得
（5）
（1）、（2）代入（3）並整理得

兩端取微分，並將（5）代入，整理得輸入輸出關系的微分方程為

2-6 求圖2-4中各無源網路的傳遞函數。
圖2-4 習題2-6示意圖
解：（a）由圖得
（1）
（2）
（2）代入（1），整理得傳遞函數為

（b）由圖得
（1）
（2）

整理得傳遞函數為

（c）由圖得
（1）
（2）
（3）
（4）
整理得傳遞函數為

2-7 求圖2-5中無源網路的傳遞函數。
解：由圖得

整理得

2-8 試簡化圖2-6中所示系統結構圖，並求傳遞函數 和 。
解：（a）
⑴求傳遞函數 ，按下列步驟簡化結構圖：
① 令 ，利用反饋運算簡化如圖2-8a所示

②串聯等效如圖2-8b所示

③根據反饋運算可得傳遞函數

⑵求傳遞函數 ，按下列步驟簡化結構圖：
①令 ，重畫系統結構圖如圖2-8c所示

② 將 輸出端的端子前移，並將反饋運算合並如圖2-8d所示

③ 和 串聯合並，並將單位比較點前移如圖2-8e所示

④串並聯合並如圖2-8f所示

⑤根據反饋和串聯運算，得傳遞函數

（b）求傳遞函數 ，按下列步驟簡化結構圖：
①將 的引出端前移如圖2-8g所示

②合並反饋、串聯如圖2-8h所示

③ 將 的引出端前移如圖2-8i所示

④ 合並反饋及串聯如圖2-8j所示

⑤根據反饋運算得傳遞函數

2-9 試簡化圖2-7中所示系統結構圖，並求傳遞函數 。
解：求傳遞函數 ，按下列步驟簡化結構圖：
① 將 的引出端前移如圖2-9a所示

② 合並反饋及串聯如圖2-9b所示

③ 合並反饋、串聯如圖2-9c所示

④根據反饋運算，得傳遞函數

2-10 根據圖2-6給出的系統結構圖，畫出該系統的信號流圖，並用梅森公式求系統傳遞函數 和 。
解：（a）根據結構圖與信號流圖的對應關系，用節點代替結構圖中信號線上傳遞的信號，用標有傳遞函數的之路代替結構圖中的方框，可以繪出系統對應的信號流圖。如圖2-10a所示。

（1）令 ，求系統傳遞函數
由信號流圖2-10a可見，從源節點 到阱節點 之間，有一條前向通路，其增益為

有三個相互接觸的單獨迴路，其迴路增益分別為
， ，
與 互不接觸

流圖特徵式

由於前向通路與所有單獨迴路都接觸，所以余因子式

根據梅森增益公式，得系統閉環傳遞函數為

（2）令 ，求系統傳遞函數
由信號流圖2-10a可見，從源節點 到阱節點 之間，有兩條前向通路，其增益為
，
有兩個相互接觸的單獨迴路，其迴路增益分別為
，
沒有互不接觸的迴路，所以流圖特徵式為

由於前向通路與所有單獨迴路都接觸，所以余因子式
，
根據梅森增益公式，得系統閉環傳遞函數為

（b）根據結構圖與信號流圖的對應關系，用節點代替結構圖中信號線上傳遞的信號，用標有傳遞函數的之路代替結構圖中的方框，可以繪出系統對應的信號流圖。如圖2-10b所示。

求系統傳遞函數
由信號流圖2-10b可見，從源節點 到阱節點 之間，有一條前向通路，其增益為

有三個相互接觸的單獨迴路，其迴路增益分別為
， ，
與 互不接觸

流圖特徵式為

由於前向通路與所有單獨迴路都接觸，所以余因子式

根據梅森增益公式，得系統閉環傳遞函數為

2-11 根據圖2-7給出的系統結構圖，畫出該系統的信號流圖，並用梅森公式求系統傳遞函數 。
解：根據結構圖與信號流圖的對應關系，用節點代替結構圖中信號線上傳遞的信號，用標有傳遞函數的之路代替結構圖中的方框，可以繪出系統對應的信號流圖。如圖2-11a所示

由信號流圖2-11a可見，從源節點 到阱節點 之間，有一條前向通路，其增益為

有三個相互接觸的單獨迴路，其迴路增益分別為
， ，
沒有互不接觸迴路。因此，流圖特徵式

由於前向通路與所有單獨迴路都接觸，所以余因子式

根據梅森增益公式，得系統閉環傳遞函數為

3
3-1 設某高階系統可用下列一階微分方程近似描述： ，其中 。試證明系統的動態性能指標為 ， ，
解：
由系統的微分方程可得其傳遞函數 ，在單位階躍輸入作用下，由於 ，所以有

當 時，顯然有
解之得
由於 為 從 上升到 這個過程所需要得時間，所以有

其中

由上式易解出

則 ，當 時，顯然有

解之得

3-2 已知各系統得脈沖響應，試求系統的閉環傳遞函數：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
解：
（1）
（2）

（3）

3-3 已知二階系統的單位階躍響應為 ，試求系統的超調量 ，峰值時間 和調節時間 。
解：

＝
由上式可知，此二階系統的放大系數是10，但放大系數並不影響系統的動態性能指標。
由於標準的二階系統單位階躍響應表達式為
所以有
解上述方程組，得
所以，此系統為欠阻尼二階系統，其動態性能指標如下
超調量
峰值時間
調節時間

3-4 設單位負反饋系統的開環傳遞函數為 ，試求系統在單位階躍輸入下的動態性能。
解題過程：
由題意可得系統得閉環傳遞函數為

其中 。這是一個比例－微分控制二階系統。
比例－微分控制二階系統的單位階躍響應為

故顯然有

此系統得動態性能指標為
峰值時間
超調量
調節時間

3-5 已知控制系統的單位階躍響應為 ，試確定系統的阻尼比 和自然頻率 。
解：
系統的單位脈沖響應為
系統的閉環傳遞函數為
自然頻率
阻尼比

3-6 已知系統特徵方程為 ，試用勞斯穩定判據和赫爾維茨穩定判據確定系統的穩定性。
解：
先用勞斯穩定判據來判定系統的穩定性，列出勞斯表如下

顯然，由於表中第一列元素得符號有兩次改變，所以該系統在 右半平面有兩個閉環極點。因此，該系統不穩定。
再用赫爾維茨穩定判據來判定系統的穩定性。顯然，特徵方程的各項系數均為正，則

顯然，此系統不穩定。

3-7 設單位負反饋系統的開環傳遞函數為 ，試應用勞斯穩定判據確定義為多大值時，特使系統振盪，並求出振盪頻率。
解：
由題得，特徵方程是
列勞斯表

由題意，令 所在行為零得
由 行得
解之得 ，所以振盪角頻率為

3-8 已知單位負反饋系統的開環傳遞函數為 ，試確定系統穩定時的 值范圍。
解：
由題可知系統的特徵方程為

列勞斯表如下

由勞斯穩定判據可得

解上述方程組可得

3-9系統結構如圖3-1所示， ，定義誤差 ，
(1) 若希望圖a中，系統所有的特徵根位於 平面上 的左側，且阻尼比為0.5，求滿足條件的 的取值范圍。
(2) 求圖a系統的單位斜坡輸入下的穩態誤差。
(3) 為了使穩態誤差為零，讓斜坡輸入先通過一個比例微分環節，如圖b所示，試求出合適的 值。

解：（1）閉環傳遞函數為
即
，代入上式得，

列出勞斯表，

(2) ，系統為I型系統 ∴
(3)

並沒有改變系統的穩定性。

3-10 已知單位反饋系統的開環傳遞函數：
（1） ；
（2）
試求輸入分別為 和 時，系統的穩態誤差。
解：
（1）
由上式可知，該系統是 型系統，且 。
型系統在 信號作用下的穩態誤差分別為： 。根據線性疊加原理有該系統在輸入為 時的穩態誤差為 ，該系統在輸入為 時的穩態誤差為
（2）
由上式可知，該系統是 型系統，且 。
型系統在 信號作用下的穩態誤差分別為： 。根據線性疊加原理有該系統在輸入為 時的穩態誤差為 ，該系統在輸入為 時的穩態誤差為

3-11已知閉環傳遞函數的一般形式為

誤差定義為 。試證，
（1） 系統在階躍信號輸入下，穩態誤差為零的充分條件為

（2）系統在斜坡信號輸入下，穩態誤差為零的充分條件為

（3）推導系統在斜坡信號輸入下穩態誤差為零的充分條件
（4）求出系統閉環傳遞函數與系統型別之間的關系
解：（1）

滿足終值定理的條件，

即證
（2）

滿足終值定理的條件，

即證
(3) 對於加速度輸入，穩態誤差為零的必要條件為

同理可證
（4）系統型別比閉環函數分子最高次冪大1次。
3-12 已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：
（1） ；
（2） ；
（3）
試求位置誤差系數 ，速度誤差系數 ，加速度誤差系數 。
解：
（1） 此系統是一個 型系統，且 。故查表可得 ， ，
（2） 根據誤差系數的定義式可得

（3） 根據誤差系數的定義式可得

3-13設單位反饋系統的開環傳遞函數

輸入信號為
其中 , , , i, , 均為正數，a和b為已知正常數。如果要求閉環系統的穩態誤差 < , 其中 , 試求系統各參數滿足的條件。
解：首先系統必須是穩定的，系統的閉環特徵方程為

式中， ,為系統的開環增益，各參數滿足：
,
即穩定條件為
由於本例是I型系統，其 , ,故在 作用下，其穩態誤差
必有
於是，即能保證系統穩定，又滿足對系統穩態誤差要求的各參數之間的條件為

3-14 設單位反饋系統的開環傳遞函數為 。試用動態誤差系數法求出當輸入信號分別為 時，系統的穩態誤差。
解：
系統的誤差傳遞函數為

所以有
對上式進行拉氏反變換可得
（1）
當 時，顯然有

將上述三式代入（1）式，可得
系統的穩態誤差為

3-15 假設可用傳送函數 描述溫度計的特性，現在用溫度計測量盛在容器內的水溫，需要一分鍾時間才能指出實際水溫的 的數值。如果給容器加熱，使水溫依 的速度線性變化，問溫度計的穩態誤差有多大?
解：
由題意，該一階系統得調整時間 ，但 ，所以 。
系統輸入為 ，可推得
因此可得

的穩態分量為
穩態誤差為
所以，穩態誤差為

3-16如圖3-2所示的控制系統結構圖，誤差 在輸入端定義，擾動輸入 .
(1) 試求 時，系統在擾動輸入下的穩態輸出和穩態誤差。
(2) 若 , 其結果又如何？
(3) 在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環節 ，對其結果有何影響？
在擾動作用點之後的前向通道中引入積分環節 ，對其結果又有何影響？
解：令 ， ，
則 代入
得
令 ，得擾動作用下的輸出表達式：

此時的誤差表達式為：
若在s 右半平面上解析，則有

在擾動輸入下的穩態輸出為

代入 的表達式，可得

（1） 當 時，
（2） 當 時，
可見，開環增益的減小將導致擾動作用下系統穩態輸出的增大，且穩態誤差的絕對值也增大。
（3） 若 加在擾動之前，則

得
若 加在擾動之後，則

可見在擾動作用點之前的前向通路中加入積分環節，可以消除階躍輸入引起的穩態誤差。

3-17 設隨動系統的微分方程為：

其中， 為系統輸出量， 為系統輸入量， 為電動機機電時間常數， 為電動機電磁時間常數， 為系統開環增益。初始條件全部為零，試討論：
（1） 、 與 之間關系對系統穩定性的影響
（2） 當 , , 時，可否忽略 的影響？在什麼影響下 的影響可以忽略？
解：（1）對系統微分方程在零初始條件下進行拉氏變換，得閉環系統特徵方程

當 均為正值時，且有
即 時 閉環系統穩定。
（2）由於 ，因此只有當
閉環系統才穩定，顯然，對於 , 閉環不穩定。此時若略去 ,
閉環特徵方程為

上式中各項系數為正，從而得到得出閉環系統穩定的錯誤結論。如果
。如果 ，則略去 不會影響閉環穩定性。
對於本例，當 時，不能忽略 對穩定性的影響，否則可以忽略。

5
5-1 設系統閉環穩定，閉環傳遞函數為 ，試根據頻率特性的定義證明，輸入為餘弦函數 時，系統的穩態輸出為

解：
由題目可得
對等式兩邊同時進行拉氏變換可得

由於系統閉環穩定，所以 不存在正實部的極點。假設 可表示為如下表達式

由以上分析可得，系統的閉環傳遞函數為

對上述閉環傳遞函數作如下分解

對上式等式兩邊進行拉氏反變換可得

由系統穩態輸出的定義可得

利用留數法確定待定的系數

所以可得

5-2 若系統階躍響應為：

試確定系統頻率特性
解：
單位階躍輸入信號的拉氏變換為
系統單位階躍響應的拉氏變換為

系統的閉環傳遞函數為
將 代入傳遞函數 可得

5-3 設系統結構圖如圖5-1所示，試確定輸入信號

作用下，系統的穩態誤差 。

解：
如圖5-1所示，系統的誤差傳遞函數為

其幅頻特性和相頻特性分別為

當 時

5-4已知系統開環傳遞函數
；
試分析並繪制 和 情況下的概略幅相曲線。
解：
由題可知，系統的頻率特性如下

由於系統 ，所以開環幅相曲線要用虛線補畫 的半徑為無窮大的圓弧
當 時，
當 時，
又由於 ，所以有
當 時，開環幅相曲線始終處於第三象限，如圖5-4a所示；
當 時，開環幅相曲線始終處於第二象限，如圖5-4b所示。

5-5 已知系統開環傳遞函數

試分別繪制 時系統的概略開環幅相曲線。
解：
由題目可知，系統的頻率特性如下

當 時，開環幅相曲線要用虛線補畫 的半徑為無窮大的圓弧。
若 ，則
若 ，則
由以上分析可知，系統概略開環幅相曲線如圖5-5a所示。
當 時，開環幅相曲線要用虛線補畫 的半徑為無窮大的圓弧。
若 ，則
若 ，則
由以上分析可知，系統概略開環幅相曲線如圖5-5a所示。
當 時，開環幅相曲線要用虛線補畫 的半徑為無窮大的圓弧。
若 ，則
若 ，則
由以上分析可知，系統概略開環幅相曲線如圖5-5a所示。
當 時，開環幅相曲線要用虛線補畫 的半徑為無窮大的圓弧。
若 ，則
若 ，則
由以上分析可知，系統概略開環幅相曲線如圖5-5a所示。

5-6已知系統開環傳遞函數

試分別計算 和 時，開環頻率特性的幅值 和相位 。
解：
系統的開環頻率特性表達式如下

當 時

此時
當 時

此時

5-7 繪制下列傳遞函數的對數幅頻漸進特性曲線
a．

b．

c．

d．

5-8 已知系統開環傳遞函數

試繪制 的對數頻率特性曲線，並算出截止頻率 。
解：由題可得
則

因此
對數頻率特性曲線如圖5-8a所示

又 ，可得 ，即
計算可得

5-9 已知系統開環傳遞函數為：

a．計算截止頻率 。
b．確定對數幅頻漸進特性曲線的低頻漸進線的斜率。
c．繪制對數幅頻特性曲線。
解：

計算可得
當 時，斜率為 ；
當 時，斜率為 ；
當 時，斜率為 ；
當 時，斜率為 ；
繪制對數幅頻特性曲線，如圖5-9a所示。

5-10 利用奈氏判據分別判斷題5-4，5-5系統的閉環穩定性。
解：
(1) 對於題5-4的系統，分 和 的兩種情況來討論系統的閉環穩定性。
當 時，系統的開環幅相曲線如圖5-4a所示，由圖可知，系統的開環幅相曲線不包圍 ，根據奈奎斯特判據可得
又由系統得開環傳遞函數可知
即 ，閉環系統在 右半平面無極點， 時閉環系統穩定。
當 時，系統的開環幅相曲線如圖5-4b所示，由圖可知，
又由系統得開環傳遞函數可知
即 ，閉環系統在 右半平面有2個極點， 時閉環系統不穩定。
(2) 對於題5-5的系統，其開環幅相曲線如圖所示，由圖5-5a可知
當 時， ，又由系統得開環傳遞函數可知
即 ，閉環系統在 右半平面無極點， 時閉環系統穩定。
當 時， ，又由系統得開環傳遞函數可知
即 ，閉環系統在 右半平面有2個極點， 時閉環系統不穩定。

5-11 用勞斯判斷據驗證題5-10的結果。
解：
（1）對於題5-4的系統，由題得閉環系統特徵方程為

列勞斯表

則當 時， ，即第一列各值為正，即閉環系統穩定；
當 時， ，即第一列各值不全為正，即閉環系統不穩定。
（2）對於題5-5的系統，由題得閉環系統特徵方程為
，即
當 時，列勞斯表

第一列各值為正，即閉環系統穩定；
當 時，列勞斯表

第一列各值不全為正，即閉環系統不穩定；
當 時，情況與 相同，即閉環系統不穩定。

5-12 已知三個系統的開環傳遞函數為
，
，
，
又知它們的奈奎斯特曲線如圖5-2(a)(b)(c)所示。找出各個傳遞函數分別對應的奈奎斯特曲線，並判斷單位反饋下閉環系統的穩定性
解：三個傳遞函數對應的奈奎斯特曲線分別為
對 式， ，
則 ，故系統穩定；
對 式， ，
則 ，故系統穩定；
對 式， ，
則 ，故系統穩定；

5-13 已知系統開環傳遞函數
；
試根據奈氏判據，確定其閉環穩定條件：
a． 時， 值的范圍；
b． 時， 值的范圍；
c． ， 值的范圍。
解：
由系統的開環傳遞函數可知，系統的開環曲線圖如圖5-13a所示

由於 ，故想要閉環系統穩定，必有 ，即幅相曲線不包圍點 。
系統的頻率特性表達式如下

、 時，對於開環幅相曲線與實軸的交點有

由上式可得 ，則交點的實軸坐標為

由上式可得
、 時，對於開環幅相曲線與實軸的交點有

由上式可得 ，則交點的實軸坐標為

由上式可得
、對於開環幅相曲線與實軸的交點有

由上式可得 ，則交點的實軸坐標為

由上式可得

5-14 某系統的開環傳遞函數為

要求畫出以下4種情況下的奈奎斯特曲線，並判斷閉環系統的穩定性：
a． ；
b． ；
c． ；
d． 。
解：
a． 當 時， ，
其開環幅相曲線如圖5-14a所示， ，
則 ，故在 平面右半平面有2個閉環極點，閉環系統不穩定；
b．當 時，
若 ，則
若 ，則
其開環幅相曲線如圖5-14b所示， ，
則 ，故系統不穩定；
c． 當 時，
若 ，則
若 ，則
其開環幅相曲線如圖5-14c所示， ，
則 ，故系統不穩定；
d．當 時，
由 可得 ,
故可得其開環幅相曲線如圖5-14d所示， ，
則 ，故系統穩定。

5-15 已知反饋控制系統的開環傳遞函數為
，
如果閉環系統不穩定，閉環傳遞函數會有幾個極點在復數平面的右半平面？
解：

當 時，
當 時，
由於系統不穩定，故可得其開環幅相曲線如圖5-15a所示
由圖可得 ，
則 ，故閉環傳遞函數有2個極點在復數平面的右半平面。

5-16 設控制系統的結構圖如圖5-3所示。
a．求出開環傳遞函數；
b．畫出對數相頻特性曲線；
c．求出臨界開環比例 和截止頻率 ；
d．用奈氏判據判斷該系統是否穩定，如果穩定再分別求出當輸入信號 和 的情況下系統的靜態誤差。

解：
（a）系統開環傳遞函數為
（b）
，
，

（c）
，
，
系統開環頻率特性為

與實軸的交點

故幅相曲線為

當 時，系統臨界穩定，得
當 時， ，系統穩定

當 時， ，系統不穩定
當 時， ，
當 時，

5-17 已知某最小相位系統的開環對數幅頻特性如圖5-4所示。
a．寫出其開環傳遞函數；
b．畫出其相頻特性草圖，並從圖上求出和標明相角裕度和幅值裕度；
c．求出該系統達到臨界穩定時的開環比例系數值 ；
d．在復數平面上畫出其奈奎斯特曲線，並標明點 的位置。
解：
（1）確定系統積分或微分環節的個數。因對數幅頻漸近特性曲線的低頻漸近線的斜率為 ，由圖，低頻漸近斜率為 ，故 ，系統含有2個積分環節。
（2）確定系統傳遞函數結構形式。由於對數幅頻漸近特性曲線為分段折線，其各轉折點對應的頻率為所含一階或二階環節的交接頻率，每個交接頻率處斜率的變化取決於環節的種類。
處，斜率變化 ，對應微分環節；
處，斜率變化 ，對應慣性環節；
處，斜率變化 ，對應慣性環節。
因此，所測系統具有下述傳遞函數

其中 待定。
（3）低頻漸近線方程為

由給定點 ，得
故所測系統傳遞函數為

5-18設單位反饋控制系統的開環傳遞函數

試確定相角裕度為 時的參數值。
解：
系統的頻率特性表達式為
設系統的截止頻率為 ，則由相角裕度的定義可得

即
又由於
由上式得
所以

5-19 若高階系統的時域指標為 ， ，試根據經驗公式確定系統的截止頻率和相角裕度的范圍。
解：根據經驗公式，

根據題意有，

可求得

5-20 典型二階系統的開環傳遞函數

若已知 ，試確定相角裕度 的范圍；若給定 ，試確定系統帶寬 的范圍。
解：由於 且 ，
可解得
而根據題意
又有 ，且
故計算可得：

5-21 設二階系統如圖5-5(a)所示。若分別加入測速反饋校正， （圖5-5(b)）和比例-微分校正， （圖5-5(c)），並設 ， ，試確定各種情況下相角裕度 的范圍，並加以比較。

解：(a)由題意可知系統開環頻率特性

， ，
設 為截止頻率，當 時，則有

和

把 代入上式，得：
，

(b)由題意可知系統開環傳遞函數為

其開環頻率特性為

設 為截止頻率，當 時，則有

和

把 ，設 ，代入上式，得：
，

(c)由題意可知系統開環傳遞函數為
，其中
其開環頻率特性為

，
設 為截止頻率，當 時，則有

和

把 ，設 ，代入上式，得：
，

5-22 已知單位反饋系統的開環幅相特性曲線如圖5-6所示。當 時，系統幅值裕度 ，穿越頻率 ，試求輸入為 ，幅值裕度為下述值時，系統的穩態誤差。
a．
b．

解：設系統開環傳遞函數為：

開環系統幅頻特性為：

系統的開環頻率特性為：

解得
當 有 ，
得
則系統開環傳遞函數可寫成

系統與實軸的交點為
當 時， ，
當 時， ，

5-23 設單位反饋系統如圖5-7所示。其中， ； 時，截止頻率 ，若要求 不變，問 與 如何變化才能使系統相角裕度提高至 ？
解：開環系統幅頻特性為：

相頻特性為：

當 時，
，把 代入得：

若要求相角提高 ，即要求 提高 ，設調整後的系統相頻特性為：

調整後的 值為： ， 值不做調整。

5-24 已知單位反饋控制系統的開環傳遞函數為

試繪制系統的對數頻率特性曲線，並據此確定：
a．求 時的相角裕度；
b．求 時的幅值裕度；
(1)解： 開環系統幅頻特性為：

令 ，當 時，得
開環系統相頻特性為：
，當 時，有

(2) 解：開環系統的頻率特性為：
令其虛部為零，即

得

5-25 若單位反饋系統的開環傳遞函數

試確定使系統穩定的 值。
解：
系統的頻率特性表達式為
由上式可得，系統的幅頻特性和相頻特性分別為

系統臨界穩定時開環幅相曲線穿過點 ，此時

由上式可得，
顯然，當 時，由奈奎斯特穩定判據可得系統閉環穩定。
故 的取值范圍為

5-26 設單位反饋系統的開環傳遞函數

試確定閉環系統穩定時，延遲時間 的范圍。
解：
系統的頻率特性表達式為
由上式可得，系統的幅頻特性和相頻特性分別為

系統臨界穩定時開環幅相曲線穿過點 ，此時

由幅頻特性可得
解之可得 （捨去）
又 即
顯然，當 時，由奈奎斯特穩定判據可得系統閉環穩定。故 的取值范圍為