麥克斯韋分布實驗裝置

1. 麥克斯韋速率分布

是的。
你會發現除了麥克斯韋速率分布以外，還有很多的分布規律與麥克斯韋速率分布公式是極其相似的，都含exp(-E/kT)等結構，這是因為它們的數學模型是相似的。

2. 大學物理，麥克斯韋速率分布率

速率分布函數 f(v) = dN / (N dv)，是分布在速率 v 附近單位速率區間的分子數占總分專子數的百分比。屬
（1） f(v) dv = dN / N，是分布在速率 v 附近 dv 速率區間的分子數占總分子數的百分比。
（2）N f(v) dv = dN， 是分布在速率 v 附近 dv 速率區間的分子數。
（3）是分布在速率 v1 到 v1 速率區間的分子數占總分子數的百分比。
（4）是速率 v1 到 v1 速率區間的分子的平均速率。
（5）是 1/v 的平均值（一般涉及不到求這個值）。
附註：我的回答常常被「網路知道」判定為違反「回答規范」，但是我一直不知道哪裡違規，也不知道對此問題的回答是否違規。

3. 歷史上驗證麥克斯韋速率分布的實驗有哪些

熱學研究（論文）
- 2 -
z三個方向上的分量為,,xyzvvv。處於平衡態的氣體分子速度分布應該是各向同性的，在速度區間xxxv~vdv，yyyv~vdv，zzzv~vdv內的分子數dN顯然與總分子數N和速度間隔體元xyzvvvddd成正比
即2xyz()vvvdNNFUddd （2222
xyzUvvv） （1）
這里比例系數 2()FUxyz
dNNdvdvdv (2 )
為速度分布函數
由於速度分布函數的各向同性，速度的任一分量的分布於其它量無關，故可設
2
()()()()xyzFUfvfvfv （3）
對上式兩邊取對數的
2
ln()ln()ln()ln()xyzFUfvfvfv
上式分別對,,xyzvvv求偏導 先對xv
x2
2
)1
12v())dF
UUFUdU




xxxxx
f(v 且
vf(vvv
整理後可得
2
2
xd)1
1
1
()2v)ddF
FUdU



xxxf(vf(vv
同理有
2
2
yd)1
11
()2v)
ddF
FUdU




yyy
f(vf(vv
2
2
zd)1
1
1
()2v)
ddF
FUdU




zzz
f(vf(vv
以上三式左邊相同，故右邊也相等 可令
xyzd)d)d)1
1
1
1
1
1
2v)
d2v)
d2v)
d





yxzxx
yy
zz
f(vf(vf(vf(vvf(vvf(vv
對上式積分得2
2
2
y
x
z
vvvyzfAe
fAe
fAe
x（v）=（v）=（v）=
將其帶入（3）式有 2
2
2
xyzv+v+v2
3F(U)=Ae
（）
（5）
考慮到具有無限大速率的分子出現的幾率極小，故應為負值

熱學研究（論文）
- 3 -
令2a， 有歸一條件有：
22
2222
y
x
z
vvv2
3
F(U
)A
e
e
e
1aa
axyzx
y
zdvdvdvdvdvdv






由積分公式
22
e
ax
dxa


可知
上式33
A()1a

 得a
A=


於是 222
xyzv+v+v2
3
a
F(U)=()e

2-a（）
（6）
在利用分子平均動能等於3
2
kT
2
13
22mU
kT


則 23kTUm

即 223(U)F(U)xyzkTdvdvdvm

 （7）
222
xyz2
2
2
222
222
xyzxyzxyzv+v+v2223
v+v+vv+v+vv+v+v3
22
2
a
()()e
a
(
)
[e
e
e
]x
yz
xyz
x
yzxyz
v
vvdvdvdvv
vvdvdvdv

22
22-a（）
-a（）
-a（）
-a（）

僅取上積分式中一項22
2
xyzv+v+v2e
xxyz
vdvdvdv2-a（）

2
2
2
2
2
2
2x
2x
ve
v
e
y
x
z
y
x
z
avavavxyz
avavavxyz
e
e
dvdvdvdve
dve
dv

由積分公式22
23
1
2ax
xe
dxa


 2
2
ax
e
dxa



可得 原式3
23
2
5
1
122a
a
a





熱學研究（論文）
- 4 -
則
2222
2222
3
2()
253
2()
25
1212xyzxyzavvvy
yavvvz
zve
dvav
e
dva



代入（7）式有3
23
5
13(
)(3)2a
kTa
m




得 2makT

代入（6）式有
222
3
()
2
22()(
)2xyzmvvvkT
mFUe
kT
 （8）
通常說的速率分函數，f（u）指的是不論速度方向如何，只考慮速度的大小點的分布，在這種情況下，自然應該用球坐標系表示速度區間
2rsinvsin{dddrvdddv
2
球坐標空間 、、 dV=r
球速度空間 、、 d=
則 xyz2
x
y
z
vdddsin{vvvvvv
vdddv

、、、、
2
3
2/22
20
0
(
)sin2mvkT
dNme
vdddvN
kT



2
3
/22
24(
)2mvkT
me
vdvkT

可得： 2
3
/22
2()4(
)2mvkT
dNmfue
vNdV
kT


四． 實驗驗證
在麥克斯韋從理論推導速度分布律後的近半個世紀，由於當時的技術條件，主要是高真空技術和測量技術的限制，要從實驗上來驗證麥克斯韋速度分布律是非常困難的，直到1920年，英國物理學家斯特恩才做了第一次的嘗試。雖然實驗技術曾經有許多物理工作者做了進一步的改進，但直到1955年才由哥倫比亞大學的密勒和庫士提出了這個定律的高精確的實驗證明。
1、實驗裝置簡介

熱學研究（論文）
- 5 -

（1）、o為分子或原子射線源
（2）、R是用鋁合金製成的圓柱體，圓柱體上均勻地刻制了一些螺旋形的細槽，細槽的入口狹縫與出口狹縫之間的夾角o4.8
（3）、D是根據電離計原理製成的檢測器，用來接收原子射線，並測定其強度
（4）、整個裝置都放在抽成真空的容器內 2、實驗原理
實驗時，圓柱體R以一定的角速度轉動，由於不同的速率的分子通過細槽所需的時間不同，各種速率的分子射入入口狹縫後，只有速率嚴格限定的分子才能通過這些細槽，而不和細槽壁碰撞。分子沿細槽前進所需的時間為tvl


，從而有lv



只有速率滿足上述關系的分子才能通過細槽，其它速率的分子將沉積在細槽的內壁上。因此旋轉主體起到了速率選擇器的作用，改變角速度，就可以使不同的分子通過。 3、實驗過程與結果
改變圓柱體轉動的角速度，依次測定相應分子射線的強度，就可以確定分子射線的速率分布情況。
試驗表明，射線強度確為速率v的函數，強度大，表明分布在該速率區間內的分子數所佔的比率較大，反之亦然。
實驗還表明，在相同條件下，各相等速率區間內的分子數比率不同，多次實驗得到同一速率區間內的分子數比率大致相同。這就說明分子速率確實存在一個恆定的分布律。
1955年密勒與庫士測定了從加熱爐內發射出來的鉈原子速率分布，實驗溫度為1400K,並由實驗數據會出了鉈原子速率分布的試驗曲線（見下圖）。

熱學研究（論文）
- 6 -

由試驗曲線可知：
（1）、()fv值兩頭小，中間大，()fv有一極大值
（2）、可認為大量原子（或分子）的速率是連續分布的，當v取得很小
時，則有 ()dNfvdv
N


()fv這一函數，麥克斯韋首先從理論上找到了
密勒與庫士於1955年在實驗上比較精確的證明了麥克斯韋速度分布律。
總結：
應用麥克斯韋速率分布律可以求與速度有關的函數的各種平均值；可以計算速率在~vvdv內的分子數dN；可以計算速率在有限間隔12~vv內的分子數N或者百分數/NN；也可以推導理想氣體的壓強公式、溫度公式、狀態方程及幾個實驗定律；還可以推導能量均分定理。
麥克斯韋速度分布律對於研究氣體無規則熱運動有重要意義，找到了微觀量求統計平均值的途徑，為氣體分子運動論奠定了基礎。
參考文獻：
（1）、張蘭知著，熱學，哈爾濱工業大學出版社，1998、11
（2）、言經柳，麥克斯韋速率分布律的推導，南寧師范高等專科學校校報，1999年第2期 （3）、吳瑞賢 章立源著，熱學研究，四川大學出版社，1987、4

4. 關於麥克斯韋速率分布曲線

v0代表平均速率，在最高點表示最概然速率

5. 請教一下，在熱學里，真空氣體的麥克斯韋速度分布函數是怎麼得到的

指平衡狀態下理想氣體分子速度分布的統計規律。1859年，J.C.麥克斯韋首先獲得氣體分子速度的分布規律，爾後，又為L.玻耳茲曼由碰撞理論嚴格導出。處於平衡狀態下的理想氣體分子以不同的速度運動，由於碰撞，每個分子的速度都不斷地改變，使分子具有各種速度。因為分子數目很大，分子速度的大小和方向是無規的，所以無法知道具有確定速度υ的分子數是多少,但可知道速度在υ1與υ2之間的分子數是多少。麥克斯韋首先得到，在平衡狀態下，當氣體分子間相互作用可以忽略時,分布在任一速率區間υ～υ+dυ內的分子數與總分子數的比率為

即速率分布函數為

式中T是氣體的溫度,m是分子的質量，k是玻耳茲曼常數。圖中的曲線叫速率分布曲線，它描繪出氣體分子按速率的分布情況。中任一區間 υ～υ+dυ內曲線下的窄條面積與總面積的比表示速率分布在這個區間內的分子數的比率。由看出，速率很大和很小的分子所佔的比率都很小。1920年O.斯特恩最先用原子束（分子束）實驗直接驗證了麥克斯韋速率分布律的正確性。

從麥克斯韋速率分布函數出發，可以求出氣體分子的最可幾速率、均方根速率和平均速率。
① 最可幾速率υm。定義為概率最大的速率。即在這速率下，分布函數f(υ)具有極大值。此時

② 均方根速率υr。定義為速率平方平均的平方根值。可得

③ 平均速率尌。定義為速率的算術平均值。有

考慮到氣體分子速度方向以後，就可以得出氣體分子速度的分布律。用v表示氣體分子的速度矢量,υx、υy、υz分別表示 v沿直角坐標軸x、y、z的分量。從理論上可推出：在平衡狀態下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時,速度分量υx在υx～υx+dυx內,υy在υy～υy+dυy內,υz在υz～υz+dυz內的分子數的比率為
。

這個結論叫做麥克斯韋速度分布律。
1872年，玻耳茲曼創立了系統的氣體輸運理論，從研究非平衡態分布函數著手,建立了H定理（見統計物理學）。玻耳茲曼根據H定理證明，在達到平衡狀態時,氣體分子的速度分布趨於麥克斯韋分布。

6. 麥克斯韋速率分布律的物理應用

麥克斯韋-玻爾茲曼分布形成了分子運動論的基礎，它解釋了許多基本的氣體性質，包括壓版強和擴散。權麥克斯韋-玻爾茲曼分布通常指氣體中分子的速率的分布，但它還可以指分子的速度、動量，以及動量的大小的分布，每一個都有不同的概率分布函數，而它們都是聯系在一起的。
麥克斯韋-玻爾茲曼分布可以用統計力學來推導（參見麥克斯韋-玻爾茲曼統計）。它對應於由大量不相互作用的粒子所組成、以碰撞為主的系統中最有可能的速率分布，其中量子效應可以忽略。由於氣體中分子的相互作用一般都是相當小的，因此麥克斯韋-玻爾茲曼分布提供了氣體狀態的非常好的近似。
在許多情況下（例如非彈性碰撞），這些條件不適用。例如，在電離層和空間等離子體的物理學中，特別對電子而言，重組和碰撞激發（也就是輻射過程）是重要的。如果在這個情況下應用麥克斯韋-玻爾茲曼分布，就會得到錯誤的結果。另外一個不適用麥克斯韋-玻爾茲曼分布的情況，就是當氣體的量子熱波長與粒子之間的距離相比不夠小時，由於有顯著的量子效應也不能使用麥克斯韋-玻爾茲曼分布。另外，由於它是基於非相對論的假設，因此麥克斯韋-玻爾茲曼分布不能做出分子的速度大於光速的概率為零的預言。

7. 怎麼通過麥克斯韋速率分布律來推得分子平均速率和方均根速率求大神給出詳盡過程！謝謝！

8. 用麥克斯韋分布律求每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數。

這個求解請去參考《熱學》第3版 秦允豪，網上可以找到這本書，這是網頁網頁鏈接。

我記得答案是nv/4 n是分子數密度，v是熱運動平均速率

9. 麥克斯韋—波爾茲曼分布

當有保守外力(如重力場、電場等)作用時，氣體分子的空間位置
就不再均勻分布版了，不同位置處分子數權密度不同。玻耳茲曼分布律是描述理想氣體在受保守外力作用、或保守外力場的作用不可忽略時，處於熱平衡態下的氣體分子按能量的分布規律。
玻耳茲曼 (L.E.Boltzman)將麥克斯韋分布律推廣到有外力場作用的情況。認為：
(1)分子在外力場中，總能量為E＝Ek+Ep
(2)粒子的分布不僅按速率區間v～v+dv分布，還應按位置區間x～x+dx，y～y+dy,z～z+dz分布
由此導出
其中
所以
分子既按速率區間(v～v+dv)又按位置區間(x～x+dx,y～y+dy,z～z+dz)分布的玻耳茲曼分布為
在等寬的區間內，若E1＞E2，則能量大的粒子數dN1小於能量小的粒子數dN2，即粒子優先佔據能量小的狀態，這是玻耳茲曼分布律的一個重要結果。