麦克斯韦分布实验装置

1. 麦克斯韦速率分布

是的。
你会发现除了麦克斯韦速率分布以外，还有很多的分布规律与麦克斯韦速率分布公式是极其相似的，都含exp(-E/kT)等结构，这是因为它们的数学模型是相似的。

2. 大学物理，麦克斯韦速率分布率

速率分布函数 f(v) = dN / (N dv)，是分布在速率 v 附近单位速率区间的分子数占总分专子数的百分比。属
（1） f(v) dv = dN / N，是分布在速率 v 附近 dv 速率区间的分子数占总分子数的百分比。
（2）N f(v) dv = dN， 是分布在速率 v 附近 dv 速率区间的分子数。
（3）是分布在速率 v1 到 v1 速率区间的分子数占总分子数的百分比。
（4）是速率 v1 到 v1 速率区间的分子的平均速率。
（5）是 1/v 的平均值（一般涉及不到求这个值）。
附注：我的回答常常被“网络知道”判定为违反“回答规范”，但是我一直不知道哪里违规，也不知道对此问题的回答是否违规。

3. 历史上验证麦克斯韦速率分布的实验有哪些

热学研究（论文）
- 2 -
z三个方向上的分量为,,xyzvvv。处于平衡态的气体分子速度分布应该是各向同性的，在速度区间xxxv~vdv，yyyv~vdv，zzzv~vdv内的分子数dN显然与总分子数N和速度间隔体元xyzvvvddd成正比
即2xyz()vvvdNNFUddd （2222
xyzUvvv） （1）
这里比例系数 2()FUxyz
dNNdvdvdv (2 )
为速度分布函数
由于速度分布函数的各向同性，速度的任一分量的分布于其它量无关，故可设
2
()()()()xyzFUfvfvfv （3）
对上式两边取对数的
2
ln()ln()ln()ln()xyzFUfvfvfv
上式分别对,,xyzvvv求偏导 先对xv
x2
2
)1
12v())dF
UUFUdU




xxxxx
f(v 且
vf(vvv
整理后可得
2
2
xd)1
1
1
()2v)ddF
FUdU



xxxf(vf(vv
同理有
2
2
yd)1
11
()2v)
ddF
FUdU




yyy
f(vf(vv
2
2
zd)1
1
1
()2v)
ddF
FUdU




zzz
f(vf(vv
以上三式左边相同，故右边也相等 可令
xyzd)d)d)1
1
1
1
1
1
2v)
d2v)
d2v)
d





yxzxx
yy
zz
f(vf(vf(vf(vvf(vvf(vv
对上式积分得2
2
2
y
x
z
vvvyzfAe
fAe
fAe
x（v）=（v）=（v）=
将其带入（3）式有 2
2
2
xyzv+v+v2
3F(U)=Ae
（）
（5）
考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小，故应为负值

热学研究（论文）
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令2a， 有归一条件有：
22
2222
y
x
z
vvv2
3
F(U
)A
e
e
e
1aa
axyzx
y
zdvdvdvdvdvdv






由积分公式
22
e
ax
dxa


可知
上式33
A()1a

 得a
A=


于是 222
xyzv+v+v2
3
a
F(U)=()e

2-a（）
（6）
在利用分子平均动能等于3
2
kT
2
13
22mU
kT


则 23kTUm

即 223(U)F(U)xyzkTdvdvdvm

 （7）
222
xyz2
2
2
222
222
xyzxyzxyzv+v+v2223
v+v+vv+v+vv+v+v3
22
2
a
()()e
a
(
)
[e
e
e
]x
yz
xyz
x
yzxyz
v
vvdvdvdvv
vvdvdvdv

22
22-a（）
-a（）
-a（）
-a（）

仅取上积分式中一项22
2
xyzv+v+v2e
xxyz
vdvdvdv2-a（）

2
2
2
2
2
2
2x
2x
ve
v
e
y
x
z
y
x
z
avavavxyz
avavavxyz
e
e
dvdvdvdve
dve
dv

由积分公式22
23
1
2ax
xe
dxa


 2
2
ax
e
dxa



可得 原式3
23
2
5
1
122a
a
a





热学研究（论文）
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则
2222
2222
3
2()
253
2()
25
1212xyzxyzavvvy
yavvvz
zve
dvav
e
dva



代入（7）式有3
23
5
13(
)(3)2a
kTa
m




得 2makT

代入（6）式有
222
3
()
2
22()(
)2xyzmvvvkT
mFUe
kT
 （8）
通常说的速率分函数，f（u）指的是不论速度方向如何，只考虑速度的大小点的分布，在这种情况下，自然应该用球坐标系表示速度区间
2rsinvsin{dddrvdddv
2
球坐标空间 、、 dV=r
球速度空间 、、 d=
则 xyz2
x
y
z
vdddsin{vvvvvv
vdddv

、、、、
2
3
2/22
20
0
(
)sin2mvkT
dNme
vdddvN
kT



2
3
/22
24(
)2mvkT
me
vdvkT

可得： 2
3
/22
2()4(
)2mvkT
dNmfue
vNdV
kT


四． 实验验证
在麦克斯韦从理论推导速度分布律后的近半个世纪，由于当时的技术条件，主要是高真空技术和测量技术的限制，要从实验上来验证麦克斯韦速度分布律是非常困难的，直到1920年，英国物理学家斯特恩才做了第一次的尝试。虽然实验技术曾经有许多物理工作者做了进一步的改进，但直到1955年才由哥伦比亚大学的密勒和库士提出了这个定律的高精确的实验证明。
1、实验装置简介

热学研究（论文）
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（1）、o为分子或原子射线源
（2）、R是用铝合金制成的圆柱体，圆柱体上均匀地刻制了一些螺旋形的细槽，细槽的入口狭缝与出口狭缝之间的夹角o4.8
（3）、D是根据电离计原理制成的检测器，用来接收原子射线，并测定其强度
（4）、整个装置都放在抽成真空的容器内 2、实验原理
实验时，圆柱体R以一定的角速度转动，由于不同的速率的分子通过细槽所需的时间不同，各种速率的分子射入入口狭缝后，只有速率严格限定的分子才能通过这些细槽，而不和细槽壁碰撞。分子沿细槽前进所需的时间为tvl


，从而有lv



只有速率满足上述关系的分子才能通过细槽，其它速率的分子将沉积在细槽的内壁上。因此旋转主体起到了速率选择器的作用，改变角速度，就可以使不同的分子通过。 3、实验过程与结果
改变圆柱体转动的角速度，依次测定相应分子射线的强度，就可以确定分子射线的速率分布情况。
试验表明，射线强度确为速率v的函数，强度大，表明分布在该速率区间内的分子数所占的比率较大，反之亦然。
实验还表明，在相同条件下，各相等速率区间内的分子数比率不同，多次实验得到同一速率区间内的分子数比率大致相同。这就说明分子速率确实存在一个恒定的分布律。
1955年密勒与库士测定了从加热炉内发射出来的铊原子速率分布，实验温度为1400K,并由实验数据会出了铊原子速率分布的试验曲线（见下图）。

热学研究（论文）
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由试验曲线可知：
（1）、()fv值两头小，中间大，()fv有一极大值
（2）、可认为大量原子（或分子）的速率是连续分布的，当v取得很小
时，则有 ()dNfvdv
N


()fv这一函数，麦克斯韦首先从理论上找到了
密勒与库士于1955年在实验上比较精确的证明了麦克斯韦速度分布律。
总结：
应用麦克斯韦速率分布律可以求与速度有关的函数的各种平均值；可以计算速率在~vvdv内的分子数dN；可以计算速率在有限间隔12~vv内的分子数N或者百分数/NN；也可以推导理想气体的压强公式、温度公式、状态方程及几个实验定律；还可以推导能量均分定理。
麦克斯韦速度分布律对于研究气体无规则热运动有重要意义，找到了微观量求统计平均值的途径，为气体分子运动论奠定了基础。
参考文献：
（1）、张兰知著，热学，哈尔滨工业大学出版社，1998、11
（2）、言经柳，麦克斯韦速率分布律的推导，南宁师范高等专科学校校报，1999年第2期 （3）、吴瑞贤 章立源著，热学研究，四川大学出版社，1987、4

4. 关于麦克斯韦速率分布曲线

v0代表平均速率，在最高点表示最概然速率

5. 请教一下，在热学里，真空气体的麦克斯韦速度分布函数是怎么得到的

指平衡状态下理想气体分子速度分布的统计规律。1859年，J.C.麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为L.玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。处于平衡状态下的理想气体分子以不同的速度运动，由于碰撞，每个分子的速度都不断地改变，使分子具有各种速度。因为分子数目很大，分子速度的大小和方向是无规的，所以无法知道具有确定速度υ的分子数是多少,但可知道速度在υ1与υ2之间的分子数是多少。麦克斯韦首先得到，在平衡状态下，当气体分子间相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间υ～υ+dυ内的分子数与总分子数的比率为

即速率分布函数为

式中T是气体的温度,m是分子的质量，k是玻耳兹曼常数。图中的曲线叫速率分布曲线，它描绘出气体分子按速率的分布情况。中任一区间 υ～υ+dυ内曲线下的窄条面积与总面积的比表示速率分布在这个区间内的分子数的比率。由看出，速率很大和很小的分子所占的比率都很小。1920年O.斯特恩最先用原子束（分子束）实验直接验证了麦克斯韦速率分布律的正确性。

从麦克斯韦速率分布函数出发，可以求出气体分子的最可几速率、均方根速率和平均速率。
① 最可几速率υm。定义为概率最大的速率。即在这速率下，分布函数f(υ)具有极大值。此时

② 均方根速率υr。定义为速率平方平均的平方根值。可得

③ 平均速率尌。定义为速率的算术平均值。有

考虑到气体分子速度方向以后，就可以得出气体分子速度的分布律。用v表示气体分子的速度矢量,υx、υy、υz分别表示 v沿直角坐标轴x、y、z的分量。从理论上可推出：在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时,速度分量υx在υx～υx+dυx内,υy在υy～υy+dυy内,υz在υz～υz+dυz内的分子数的比率为
。

这个结论叫做麦克斯韦速度分布律。
1872年，玻耳兹曼创立了系统的气体输运理论，从研究非平衡态分布函数着手,建立了H定理（见统计物理学）。玻耳兹曼根据H定理证明，在达到平衡状态时,气体分子的速度分布趋于麦克斯韦分布。

6. 麦克斯韦速率分布律的物理应用

麦克斯韦-玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压版强和扩散。权麦克斯韦-玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导（参见麦克斯韦-玻尔兹曼统计）。它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。
在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。如果在这个情况下应用麦克斯韦-玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。另外一个不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布。另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。

7. 怎么通过麦克斯韦速率分布律来推得分子平均速率和方均根速率求大神给出详尽过程！谢谢！

8. 用麦克斯韦分布律求每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数。

这个求解请去参考《热学》第3版 秦允豪，网上可以找到这本书，这是网页网页链接。

我记得答案是nv/4 n是分子数密度，v是热运动平均速率

9. 麦克斯韦—波尔兹曼分布

当有保守外力(如重力场、电场等)作用时，气体分子的空间位置
就不再均匀分布版了，不同位置处分子数权密度不同。玻耳兹曼分布律是描述理想气体在受保守外力作用、或保守外力场的作用不可忽略时，处于热平衡态下的气体分子按能量的分布规律。
玻耳兹曼 (L.E.Boltzman)将麦克斯韦分布律推广到有外力场作用的情况。认为：
(1)分子在外力场中，总能量为E＝Ek+Ep
(2)粒子的分布不仅按速率区间v～v+dv分布，还应按位置区间x～x+dx，y～y+dy,z～z+dz分布
由此导出
其中
所以
分子既按速率区间(v～v+dv)又按位置区间(x～x+dx,y～y+dy,z～z+dz)分布的玻耳兹曼分布为
在等宽的区间内，若E1＞E2，则能量大的粒子数dN1小于能量小的粒子数dN2，即粒子优先占据能量小的状态，这是玻耳兹曼分布律的一个重要结果。