李雅普諾夫指數的工具箱

① 李雅普諾夫指數的定義

考慮兩個系統

設其初始值微小誤差為
經過一次迭代後有

其中

第二次迭代得到

········
經過第n次迭代得

可見，兩個系統對初始擾動的敏感度由導數|df/dx|在x0處的值決定，它與初始值x0有關。映射整體對初值敏感性需對全部初始條件平均，要進行n次迭代：

每次迭代平均分離值為

兩個系統如果初始存在微小的差異，隨著時間（或迭代次數）產生分離，分離程度常用李雅普諾夫（Lyapunov）指數來度量，它為幾何平均值的對數

式中xn為第n次迭代值。令n趨於無窮，得到李雅普諾夫指數的計算公式：

② matlab做李雅普諾夫指數圖

能不能不用圖片, 而是用文字的形式來表達代碼, 這樣還需要我一個一個敲進MATLAB的編輯器里邊...

③ 李亞普若夫指數

對初值敏感(即對混沌現象)的判斷需要一個定量的指標, 這個指標就是李雅普諾夫指數,它表示相鄰軌線間的平均發散(分離)率, 是一個統計平均量.

另附 李雅普諾夫 的簡介.希望對你有幫助.

李雅普諾夫是俄國、力學家.1857年6月6日生於雅羅斯拉夫爾；1918年11月3日卒於敖德薩.

李雅普諾夫1876年中學畢業時，因成績優秀獲金質獎章，同年考入聖彼得堡大學系學習，當他聽了著名數學家的講座之後即被其淵博的學識深深吸引，從而轉到切比雪夫所在的數學系學習，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影響下，他在大學四年級時就寫出具有創見的論文，而獲得金質獎章.1880年大學畢業後留校工作，1892年獲博士學位並成為教授.1893年起任哈爾科夫大學教授，1900年初當選為聖彼得堡科學院通訊院士，1901年又當選為院士，並兼任應用數學學部主席.1909年當選為國立琴科學院外籍院士，1916年當選為巴黎科學院外籍院士.

李雅普諾夫是切比雪夫創立的彼得堡學派的傑出代表，他的建樹涉及到多個領域，尤以、和最有名.

在概率論中，他創立了特徵函數法，實現了概率論極限定理在研究方法上的突破，這個方法的特點在於能保留隨機變數分布規律的全部信息，提供了特徵函數的收斂性質與分布函數的收斂性質之間的一一對應關系，給出了比切比雪夫、馬爾可夫關於中心極限定理更簡單而嚴密的證明，他還利用這一定理第一次科學地解釋了為什麼實際中遇到的許多隨機變數近似服從正態分布.他對概率論的建樹主要發表在其1900年的《概率論的一個定理》和1901年的《概率論極限定理的新形式》論文中.他的方法已在現代概率論中得到廣泛的應用.

李雅普諾夫是常微分方程運動穩定性理論的創始人，他1884年完成了《論一個旋轉液體平衡之橢球面形狀的穩定性》一文，1888年，他發表了《關於具有有限個自由度的力學系統的穩定性》.特別是他1892年的博士論文《運動穩定性的一般問題》是經典名著，在其中開創性地提出求解非線性常微分方程的李雅普諾夫法，亦稱直接法，它把解的穩定性與否同具有特殊性質的函數（現稱為李雅普諾夫函數）的存在性聯系起來，這個函數沿著軌線關於時間的導數具有某些確定的性質.正是由於這個方法的明顯的幾何直觀和簡明的分析技巧，所以易於為實際和理論工作者所掌握，從而在技術的許多領域中得到廣泛地應用和發展，並奠定了穩定性理論的基礎，也是常微分方程定性理論的重要手段.

李雅普諾夫對位勢理論的研究為數學物理方法的發展開辟了新的途徑.他1898年發表的論文《關於狄利克雷問題的某些研究》也是一篇重要論文.該文首次對單層位勢、雙層位勢的若干基本性質進行了嚴謹的探討，指出了給定范圍內的本問題有解的若干充要條件.他的研究成果奠定了解邊值問題經典方法的基礎.

在數學中以他的姓氏命名的有：李雅普諾夫第一方法，李雅普諾夫第二方法，李雅普諾夫定理，李雅普諾夫函數，李雅普諾夫變換，李雅普諾夫曲線，李雅普諾夫曲面，李雅普諾夫球面，李雅普諾夫數，李雅普諾夫隨機函數，李雅普諾夫隨機運算元，李雅普諾夫特徵指數，李雅普諾夫維數，李雅普諾夫系統，李雅普諾夫分式，李雅普諾夫穩定性等等，而其中以他的姓氏命名的定理、條件有多種.

④ 想有償求一個計算李雅普諾夫指數的matlab程序~~ 輸入文件是TXT里邊的數據組~~

這個程序應該可以幫助你~
function lambda_1=lyapunov_wolf(data,N,m,tau,P)
% 該函數用來計算時間序列的最大Lyapunov 指數--Wolf 方法
% m: 嵌入維數
% tau:時間延遲
% data:時間序列
% N:時間序列長度
% P:時間序列的平均周期,選擇演化相點距當前點的位置差，即若當前相點為I，則演化相點只能在|I－J|>P的相點中搜尋
% lambda_1:返回最大lyapunov指數值
min_point=1 ; %&&要求最少搜索到的點數
MAX_CISHU=5 ; %&&最大增加搜索范圍次數
%FLYINGHAWK
% 求最大、最小和平均相點距離
max_d = 0; %最大相點距離
min_d = 1.0e+100; %最小相點距離
avg_dd = 0;
Y=reconstitution(data,N,m,tau); %相空間重構
M=N-(m-1)*tau; %重構相空間中相點的個數
for i = 1 : (M-1)
for j = i+1 : M
d = 0;
for k = 1 : m
d = d + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));
end
d = sqrt(d);
if max_d < d
max_d = d;
end
if min_d > d
min_d = d;
end
avg_dd = avg_dd + d;
end
end
avg_d = 2*avg_dd/(M*(M-1)); %平均相點距離

dlt_eps = (avg_d - min_d) * 0.02 ; %若在min_eps～max_eps中找不到演化相點時，對max_eps的放寬幅度
min_eps = min_d + dlt_eps / 2 ; %演化相點與當前相點距離的最小限
max_eps = min_d + 2 * dlt_eps ; %&&演化相點與當前相點距離的最大限

% 從P+1～M-1個相點中找與第一個相點最近的相點位置(Loc_DK)及其最短距離DK
DK = 1.0e+100; %第i個相點到其最近距離點的距離
Loc_DK = 2; %第i個相點對應的最近距離點的下標
for i = (P+1):(M-1) %限制短暫分離，從點P+1開始搜索
d = 0;
for k = 1 : m
d = d + (Y(k,i)-Y(k,1))*(Y(k,i)-Y(k,1));
end
d = sqrt(d);
if (d < DK) & (d > min_eps)
DK = d;
Loc_DK = i;
end
end
% 以下計算各相點對應的李氏數保存到lmd()數組中
% i 為相點序號，從1到(M-1)，也是i-1點的演化點；Loc_DK為相點i-1對應最短距離的相點位置，DK為其對應的最短距離
% Loc_DK+1為Loc_DK的演化點，DK1為i點到Loc_DK+1點的距離，稱為演化距離
% 前i個log2（DK1/DK）的累計和用於求i點的lambda值
sum_lmd = 0 ; % 存放前i個log2（DK1/DK）的累計和
for i = 2 : (M-1) % 計算演化距離
DK1 = 0;
for k = 1 : m
DK1 = DK1 + (Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1))*(Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1));
end
DK1 = sqrt(DK1);
old_Loc_DK = Loc_DK ; % 保存原最近位置相點
old_DK=DK;

% 計算前i個log2（DK1/DK）的累計和以及保存i點的李氏指數
if (DK1 ~= 0)&( DK ~= 0)
sum_lmd = sum_lmd + log(DK1/DK) /log(2);
end
lmd(i-1) = sum_lmd/(i-1);
% 以下尋找i點的最短距離：要求距離在指定距離范圍內盡量短，與DK1的角度最小
point_num = 0 ; % &&在指定距離范圍內找到的候選相點的個數
cos_sita = 0 ; %&&夾角餘弦的比較初值 ——要求一定是銳角
zjfwcs=0 ;%&&增加范圍次數
while (point_num == 0)
% * 搜索相點
for j = 1 : (M-1)
if abs(j-i) <=(P-1) %&&候選點距當前點太近，跳過！
continue;
end

%*計算候選點與當前點的距離
dnew = 0;
for k = 1 : m
dnew = dnew + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));
end
dnew = sqrt(dnew);

if (dnew < min_eps)|( dnew > max_eps ) %&&不在距離范圍，跳過！
continue;
end

%*計算夾角餘弦及比較
DOT = 0;
for k = 1 : m
DOT = DOT+(Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,old_Loc_DK+1));
end
CTH = DOT/(dnew*DK1);

if acos(CTH) > (3.14151926/4) %&&不是小於45度的角，跳過！
continue;
end

if CTH > cos_sita %&&新夾角小於過去已找到的相點的夾角，保留
cos_sita = CTH;
Loc_DK = j;
DK = dnew;
end

point_num = point_num +1;

end

if point_num <= min_point
max_eps = max_eps + dlt_eps;
zjfwcs =zjfwcs +1;
if zjfwcs > MAX_CISHU %&&超過最大放寬次數，改找最近的點
DK = 1.0e+100;
for ii = 1 : (M-1)
if abs(i-ii) <= (P-1) %&&候選點距當前點太近，跳過！
continue;
end
d = 0;
for k = 1 : m
d = d + (Y(k,i)-Y(k,ii))*(Y(k,i)-Y(k,ii));
end
d = sqrt(d);

if (d < DK) & (d > min_eps)
DK = d;
Loc_DK = ii;
end
end
break;
end
point_num = 0 ; %&&擴大距離范圍後重新搜索
cos_sita = 0;
end
end
end

%取平均得到最大李雅普諾夫指數
lambda_1=sum(lmd)/length(lmd);

⑤ 李雅普諾夫指數的介紹

1961年冬季的一天，為了考察一條更長的序列，洛倫茲走了一條捷徑。他在進行天氣模式計算時沒有從頭開始運行，而是從中途開始。作為計算的初值，他直接輸入了上次運算的輸出結果，然後他穿過大廳下樓，清凈的去喝一杯咖啡。一個小時之後他回來時，看到了出乎意料的事。從幾乎相同出發點開始，洛倫茲看到他的計算機產生的天氣模式差別愈來愈大，終至毫無相似之處。就是這件事播下了一門新科學的種子。

⑥ 怎樣計算常微分方程組的李雅普諾夫指數

你讓
李雅普諾夫指數1
恆為正。再使得它對t的導數為定號即可。你會畫出它的軌線關於奇異點的逼近方式（可以遠離。）

事實上，要掌握的是圖像，而不僅僅是具體方法。

⑦ 李雅普諾夫指數的應用

利用李雅普諾夫指數λ，相空間內初始時刻的兩點距離將隨時間（迭代次數）作指數分離：

在一維映射中只有一個λ值，而在多位相空間情況下一般就有多個λ，而且沿著相空間的不同方向，λ值一般也不同。
設ε0為多維相空間中兩點的初始距離，經過n次迭代以後兩點間的距離為：

式中指數λi可正可負，當其為正時表示沿該方向擴展，為負數時表示沿該方向收縮。在經過一段時間（數次迭代）以後，兩個不同李雅普諾夫指數將使相空間中原來的圓演變為橢圓。 穩定體系的相軌線相應於趨向某個平衡點，如果出現越來越遠離平衡點，則系統是不穩定的。系統只要有一個正值就會出現混沌運動。
判斷一個非線性系統是否存在混沌運動時，需要檢查它的李雅普諾夫指數λ是否為正值。
在高維相空間中大於零的李雅普諾夫指數可能不止一個，這樣體系的運動將更為復雜。人們稱高維相空間中有多個正值指數的混沌為超混沌。推廣到高維空間後，有指數（λ1，λ2，λ3，···）的值決定的各種類型的吸引子可以歸納為： （λ1，λ2，λ3，···） 吸引子的類型 維數 （-，-，-，···） 不動點 D=0 （0，-，-，···） 極限環 D=1 （0，0，-，-，···） 二維環面 D=2 （0，0，0，-，···） 三維環面 D=3 （+，0，-，-，···） 奇怪吸引子（混沌） D=2~3（非整數） （+，+，0，-，···） 超混沌 D=高於3的非整數