⑴ 雅可比行列式
雅可比行列式
雅可比行列式是一種重要的數學概念，主要用於描述多元函數在其定義域內某一點的局部性質。具體來說，它表示多元函數在一點的微分映射線性化的矩陣的行列式值。這一概念在多變數微積分、微分方程、機器人學等領域都有廣泛應用。
詳細解釋如下：
1. 定義與性質：雅可比行列式是一個標量值，它表示了多元函數在其輸入空間的一個點的切空間變換的“膨脹率”。對於一個給定的多元函數f，其雅可比矩陣描述了函數在特定點的局部行為。雅可比行列式就是這一矩陣的行列式值。在實際應用中，可以通過雅可比行列式來近似研究多元函數的某些特性。
2. 應用實例：在機器人學中，雅可比行列式常用於分析機械臂末端執行器的運動性能。在非線性優化和數值計算中，雅可比行列式也是求解最優化問題的重要工具之一。此外，在機器學習和人工智慧領域，雅可比行列式也被用於研究神經網路和優化演算法中的梯度信息。
3. 計算方式：計算雅可比行列式通常涉及到求多元函數的偏導數並構造相應的雅可比矩陣，然後計算該矩陣的行列式值。在實際應用中，這一計算過程可能相當復雜，需要藉助計算機和相應的數學軟體來完成。
總的來說，雅可比行列式是多元函數微分性質的一個重要反映，它有助於理解和分析函數在不同點上的行為特徵。通過雅可比行列式的計算和分析，可以幫助解決許多實際問題和工程應用中的挑戰。
⑵ 二次規劃（QP）在機器人中的應用實例
二次規劃（QP）作為解決機器人控制問題的有力工具，特別在整體控制與局部運動規劃中發揮著關鍵作用。以全體控制（Whole-body-control）為例，它在機器人控制領域受到廣泛關注，特別是在MIT公開其四足機器人代碼後，模型預測控制（MPC）與全體控制結合的方法在四足機器人控制中大放異彩。這種控制策略不僅適用於四足機器人，更廣泛地應用於多自由度機器人的規劃與控制中。
二次規劃旨在在滿足等式與不等式約束的條件下，從多個解中選擇最優解。對機器人而言，通常存在冗餘關節和多種限制條件，二次規劃方法因此成為優化求解的理想選擇。其基本形式涉及在給定的約束范圍內找到最佳解，以最小化一個二次目標函數。二次規劃的求解方法多種多樣，包括活動集方法、內點法與一階優化法等。雖然本文不詳細討論求解方法，但值得注意的是，目前市面上有多個開源的QP求解庫可供直接調用，如Matlab的quadprog函數。
以一個三自由度機械臂為例，通過Webots這一模擬平台搭建模型，考慮連桿長度為0.7米的機械臂，機械臂輸入為關節角度，輸出為笛卡爾空間位置。給定初始關節角度為[30°;-60°;60°]，以步長T=0.01進行模擬計算。機械臂末端位置與關節角度的關系可通過正運動學公式表達，其中包含連桿長度、關節角度與位置的關系。雅可比矩陣則用於描述關節角度與末端位置之間的偏導關系。
在控制目標中，機械臂末端移動速度為控制目標，關節角速度為控制輸入量。通過設置不同的優化指標，如關節角度接近零點的漸進優化，或在保持當前位置並具有較大活動空間的情況下，最大化關節角度與限位之間的距離，QP方法能夠有效優化控制策略。通過將問題形式化為二次型問題，進而調用QP求解庫求解，可以計算出每個關節的最優角速度值。
對於漸進優化指標，當目標為使關節角度接近零點時，QP方法能夠避免復雜的逆解求解過程，同時對於高自由度的機器人具備普適性。模擬結果展示了優化指標逐步優化的過程，使得末端位置跟蹤更為精準，同時關節運動更平滑。
在實際應用中，除了關節角度的優化，還可以考慮加入關節力矩約束、關節角速度約束、關節角度約束等。如果外部障礙物信息已知，也可以將其轉換為機器人關節角度或角速度的約束條件。在四足機器人的應用中，QP方法常用於足端力分配優化，同時會考慮摩擦錐約束、關節最大力矩約束等。
綜上所述，二次規劃方法在機器人控制領域展現出強大的靈活性與適應性，通過設置不同的優化目標與約束條件，能夠有效解決各種控制問題。從簡單的關節角度優化到復雜的多任務目標優化，QP方法能夠為機器人控制提供高效、精確的解決方案。
⑶ 機器人的運動學解——七自由度冗餘機械臂運動學逆解
冗餘機械臂的定義基於具體的任務，多數情況下，七自由度（七軸）機械臂被視為冗餘機械臂。其優勢在於利用額外的自由度實現本體避障、避奇異、關節力矩優化和增加操作度等附加任務，同時，它在仿生學角度也更為符合實際。
冗餘機械臂的構型在六自由度最佳構型基礎上，通過增加一個軸，形成多種新的七軸構型。例如，肩關節（1、2和3）可以被視為一個虛擬球形關節，肘關節（3、4和5）、腕關節（5、6和7）也有類似結構，相鄰關節軸垂直放置。KUKA IIWA商業機械臂即採用了這樣的構型。
冗餘機械臂逆解方法主要分為迭代法和解析法。迭代法通過線性化來解決逆運動學問題，基於雅可比矩陣，可實現子任務，但不適用於處理關節極限約束。解析法則採用待定參數描述冗餘性，解出有限組有效解，常用方法包括關節角參數化和臂型角參數化。
在解析逆運動學求解中，臂型角參數化通過增加操作空間數來消除冗餘，結合實際應用場景設定臂型角。在正向運動學參數描述中，通過DH法建立機械臂的DH參數表，確定末端位姿。臂型角定義為目標平面與參考平面的夾角，參考平面通過固定關節軸3（θ3=0）及關節軸2和4平行時確定。羅德里格斯公式用於計算參考平面位置的旋轉，從而求解肩部和腕部的關節角。
肘部關節角可通過末端姿態確定，與參考平面位置無關，通過餘弦公式唯一計算。肩部關節角則需根據參考平面角度推導出具體表達式，利用軸角公式和右手定則求解。腕部關節角則通過給定的臂角與已求出的關節角值，求解坐標系{4}到{7}的旋轉變換矩陣，從而得到關節腕部關節5、6、7的角度值。
逆解拓展任務包括填充關節冗餘度以實現特定任務，如臂角+位置+姿態控制，以及作為避障礙參數。冗餘機械臂控制框架包括軌跡規劃、位置控制、冗餘分解等模塊，通過運動學目標函數參數化自運動，實現關節限位、避障規劃等。
基於速度級的冗餘分解生成關節角速度，關節層控制器跟蹤生成的關節角速度，採用計算力矩控制以更好地跟蹤期望軌跡。全數值模擬系統實現精確運動控制，內閉環通過反饋關節角度進行位置修正，外閉環反饋笛卡爾軌跡進行笛卡爾空間位置修正，保證位置控制精度。
參考文獻：M. Shimizu, H. Kakuya, W. Yoon, K. Kitagaki and K. Kosuge, "Analytical Inverse Kinematic Computation for 7-DOF Rendant Manipulators With Joint Limits and Its Application to Rendancy Resolution," and K. Kreutz-Delgado, M. Long, and H. Seraji, 「Kinematic analysis of 7-DOF manipulators.」
⑷ 機器人工程師進階之路（十）六軸機械臂逆運算數值運算求解
由我司顏值擔當、才華橫溢的工程師梁政授權轉發，他在《機器人進階之路》專欄中分享的內容，讓我們一起探索六軸機械臂逆運算的數值求解技術。
在DH法介紹運動分析求逆的解析解後，我們進入新的篇章。今天，我們將藉助數值迭代法，特別是牛頓-Raphson法，來解決這一問題。
牛頓法的核心在於迭代求解非線性方程，其基本步驟如下：
對於六軸機械臂，逆運算的目標是求解關節角度，已知末端位姿與關節角度的關系。假設初始的關節角近似值為[公式]，我們應用牛頓法進行迭代。
在雅可比矩陣可能出現非方陣或奇異情況時，我們會用到偽逆矩陣。迭代公式相應調整為[公式]（寬矩陣）或[公式]（長矩陣）。
為了確保精度，末端位姿需轉換為運動旋量形式。在物體自身坐標系中，[公式]和[公式]。調整後的終止條件和迭代式為[公式]和[公式]。
舉個例子，若目標位姿表示為[公式]，利用Innfos模型和雅可比矩陣，我們用Matlab計算得到關節角數值解為[公式]。結果與預期相符。
值得注意的是，初始值的不同會導致不同的解，這反映了逆運算存在多解性。在數值迭代法中，初始值的選擇會影響找到的最優解。