Ⅰ 證明當碰撞為完全非彈性碰撞時,系統損失機械能最多(答得好有加分喔)
用柯尼希定理很容易證明(柯尼希定理:一個質點系的總動能，等於它的質心動能與各質點相對於質心的動能之和。E=E1+E2)
在碰撞前，系統的總動能E等於質心動能與各質點相對於質心的動能之和。而在碰撞過程中以及碰撞以後，兩物體的質點的速度是不變的，不管碰撞是彈性的還是非彈性的都是如此。因為碰撞中兩物體之間的作用力，是系統內部的力，即內力，是不能改變系統總動量的，當然也不能改變系統質心的速度,所以不能改變質心的動能。所以，不管是什麼類型的碰撞，都不能改變質心動能E1。
在碰撞以後，如果兩物體粘在一起，動能E2為0,即完全非彈性碰撞.
所以碰撞為完全非彈性碰撞時,E=E1.系統損失機械能最多.
還有種解法,硬算的.挺麻煩!
兩個都有速度太難算了,不如引入相對速度v(v=v1-v2).則原題簡化為A以v的速度向靜止的B運動
m1v=m1va+m2vb
1/2m1v^2=1/2m1va^2+1/2m2vb^2+E
(E為能量損失)
消去vb,化簡得:(m1+m2)va^2-2m1vva-(m2-m1)v^2+2Em2/m1=0
關於va的二次方程有解,則
(德爾塔)<或=0
即:E<或=m1m2v^2/(2m1+2m2)
當取等號時,E最大.va=m1v/(m1+m2)
代入動量守恆式得:vb=va
所以此時為完全非彈性碰撞.
算得好辛苦啊!!!
E<或=m1m2v^2/(2m1+2m2)
當取等號時,E最大.
下面開始講如何算出:va=m1v/(m1+m2)
把E=m1m2v^2/(2m1+2m2)代入
(m1+m2)va^2-2m1vva-(m2-m1)v^2+2Em2/m1=0
化簡得:(m1+m2)va^2-2m1vva+(m1v)^2/(m1+m2)=0
這步應該不難得到,帶進去時發現有兩項通分後可以使方程大大簡化.
接著對該方程兩邊同乘以(m1+m2)得:
[(m1+m2)va]^2-2(m1+m2)m1vva+(m1v)^2=0
觀察發現它竟然是一個完全平方式!!
[(m1+m2)va-m1v]^2=0
即:va=m1v/(m1+m2)
幸好我數學功底還算不錯~~嘿嘿
如果考試遇到這問題還是用柯尼希定理證明比較簡便,這計算太變態了.並且我也確實想不到更簡捷演算法了.
希望你能滿意!