⑴ 雅可比行列式
雅可比行列式
雅可比行列式是一种重要的数学概念，主要用于描述多元函数在其定义域内某一点的局部性质。具体来说，它表示多元函数在一点的微分映射线性化的矩阵的行列式值。这一概念在多变量微积分、微分方程、机器人学等领域都有广泛应用。
详细解释如下：
1. 定义与性质：雅可比行列式是一个标量值，它表示了多元函数在其输入空间的一个点的切空间变换的“膨胀率”。对于一个给定的多元函数f，其雅可比矩阵描述了函数在特定点的局部行为。雅可比行列式就是这一矩阵的行列式值。在实际应用中，可以通过雅可比行列式来近似研究多元函数的某些特性。
2. 应用实例：在机器人学中，雅可比行列式常用于分析机械臂末端执行器的运动性能。在非线性优化和数值计算中，雅可比行列式也是求解最优化问题的重要工具之一。此外，在机器学习和人工智能领域，雅可比行列式也被用于研究神经网络和优化算法中的梯度信息。
3. 计算方式：计算雅可比行列式通常涉及到求多元函数的偏导数并构造相应的雅可比矩阵，然后计算该矩阵的行列式值。在实际应用中，这一计算过程可能相当复杂，需要借助计算机和相应的数学软件来完成。
总的来说，雅可比行列式是多元函数微分性质的一个重要反映，它有助于理解和分析函数在不同点上的行为特征。通过雅可比行列式的计算和分析，可以帮助解决许多实际问题和工程应用中的挑战。
⑵ 二次规划（QP）在机器人中的应用实例
二次规划（QP）作为解决机器人控制问题的有力工具，特别在整体控制与局部运动规划中发挥着关键作用。以全体控制（Whole-body-control）为例，它在机器人控制领域受到广泛关注，特别是在MIT公开其四足机器人代码后，模型预测控制（MPC）与全体控制结合的方法在四足机器人控制中大放异彩。这种控制策略不仅适用于四足机器人，更广泛地应用于多自由度机器人的规划与控制中。
二次规划旨在在满足等式与不等式约束的条件下，从多个解中选择最优解。对机器人而言，通常存在冗余关节和多种限制条件，二次规划方法因此成为优化求解的理想选择。其基本形式涉及在给定的约束范围内找到最佳解，以最小化一个二次目标函数。二次规划的求解方法多种多样，包括活动集方法、内点法与一阶优化法等。虽然本文不详细讨论求解方法，但值得注意的是，目前市面上有多个开源的QP求解库可供直接调用，如Matlab的quadprog函数。
以一个三自由度机械臂为例，通过Webots这一仿真平台搭建模型，考虑连杆长度为0.7米的机械臂，机械臂输入为关节角度，输出为笛卡尔空间位置。给定初始关节角度为[30°;-60°;60°]，以步长T=0.01进行仿真计算。机械臂末端位置与关节角度的关系可通过正运动学公式表达，其中包含连杆长度、关节角度与位置的关系。雅可比矩阵则用于描述关节角度与末端位置之间的偏导关系。
在控制目标中，机械臂末端移动速度为控制目标，关节角速度为控制输入量。通过设置不同的优化指标，如关节角度接近零点的渐进优化，或在保持当前位置并具有较大活动空间的情况下，最大化关节角度与限位之间的距离，QP方法能够有效优化控制策略。通过将问题形式化为二次型问题，进而调用QP求解库求解，可以计算出每个关节的最优角速度值。
对于渐进优化指标，当目标为使关节角度接近零点时，QP方法能够避免复杂的逆解求解过程，同时对于高自由度的机器人具备普适性。仿真结果展示了优化指标逐步优化的过程，使得末端位置跟踪更为精准，同时关节运动更平滑。
在实际应用中，除了关节角度的优化，还可以考虑加入关节力矩约束、关节角速度约束、关节角度约束等。如果外部障碍物信息已知，也可以将其转换为机器人关节角度或角速度的约束条件。在四足机器人的应用中，QP方法常用于足端力分配优化，同时会考虑摩擦锥约束、关节最大力矩约束等。
综上所述，二次规划方法在机器人控制领域展现出强大的灵活性与适应性，通过设置不同的优化目标与约束条件，能够有效解决各种控制问题。从简单的关节角度优化到复杂的多任务目标优化，QP方法能够为机器人控制提供高效、精确的解决方案。
⑶ 机器人的运动学解——七自由度冗余机械臂运动学逆解
冗余机械臂的定义基于具体的任务，多数情况下，七自由度（七轴）机械臂被视为冗余机械臂。其优势在于利用额外的自由度实现本体避障、避奇异、关节力矩优化和增加操作度等附加任务，同时，它在仿生学角度也更为符合实际。
冗余机械臂的构型在六自由度最佳构型基础上，通过增加一个轴，形成多种新的七轴构型。例如，肩关节（1、2和3）可以被视为一个虚拟球形关节，肘关节（3、4和5）、腕关节（5、6和7）也有类似结构，相邻关节轴垂直放置。KUKA IIWA商业机械臂即采用了这样的构型。
冗余机械臂逆解方法主要分为迭代法和解析法。迭代法通过线性化来解决逆运动学问题，基于雅可比矩阵，可实现子任务，但不适用于处理关节极限约束。解析法则采用待定参数描述冗余性，解出有限组有效解，常用方法包括关节角参数化和臂型角参数化。
在解析逆运动学求解中，臂型角参数化通过增加操作空间数来消除冗余，结合实际应用场景设定臂型角。在正向运动学参数描述中，通过DH法建立机械臂的DH参数表，确定末端位姿。臂型角定义为目标平面与参考平面的夹角，参考平面通过固定关节轴3（θ3=0）及关节轴2和4平行时确定。罗德里格斯公式用于计算参考平面位置的旋转，从而求解肩部和腕部的关节角。
肘部关节角可通过末端姿态确定，与参考平面位置无关，通过余弦公式唯一计算。肩部关节角则需根据参考平面角度推导出具体表达式，利用轴角公式和右手定则求解。腕部关节角则通过给定的臂角与已求出的关节角值，求解坐标系{4}到{7}的旋转变换矩阵，从而得到关节腕部关节5、6、7的角度值。
逆解拓展任务包括填充关节冗余度以实现特定任务，如臂角+位置+姿态控制，以及作为避障碍参数。冗余机械臂控制框架包括轨迹规划、位置控制、冗余分解等模块，通过运动学目标函数参数化自运动，实现关节限位、避障规划等。
基于速度级的冗余分解生成关节角速度，关节层控制器跟踪生成的关节角速度，采用计算力矩控制以更好地跟踪期望轨迹。全数值仿真系统实现精确运动控制，内闭环通过反馈关节角度进行位置修正，外闭环反馈笛卡尔轨迹进行笛卡尔空间位置修正，保证位置控制精度。
参考文献：M. Shimizu, H. Kakuya, W. Yoon, K. Kitagaki and K. Kosuge, "Analytical Inverse Kinematic Computation for 7-DOF Rendant Manipulators With Joint Limits and Its Application to Rendancy Resolution," and K. Kreutz-Delgado, M. Long, and H. Seraji, “Kinematic analysis of 7-DOF manipulators.”
⑷ 机器人工程师进阶之路（十）六轴机械臂逆运算数值运算求解
由我司颜值担当、才华横溢的工程师梁政授权转发，他在《机器人进阶之路》专栏中分享的内容，让我们一起探索六轴机械臂逆运算的数值求解技术。
在DH法介绍运动分析求逆的解析解后，我们进入新的篇章。今天，我们将借助数值迭代法，特别是牛顿-Raphson法，来解决这一问题。
牛顿法的核心在于迭代求解非线性方程，其基本步骤如下：
对于六轴机械臂，逆运算的目标是求解关节角度，已知末端位姿与关节角度的关系。假设初始的关节角近似值为[公式]，我们应用牛顿法进行迭代。
在雅可比矩阵可能出现非方阵或奇异情况时，我们会用到伪逆矩阵。迭代公式相应调整为[公式]（宽矩阵）或[公式]（长矩阵）。
为了确保精度，末端位姿需转换为运动旋量形式。在物体自身坐标系中，[公式]和[公式]。调整后的终止条件和迭代式为[公式]和[公式]。
举个例子，若目标位姿表示为[公式]，利用Innfos模型和雅可比矩阵，我们用Matlab计算得到关节角数值解为[公式]。结果与预期相符。
值得注意的是，初始值的不同会导致不同的解，这反映了逆运算存在多解性。在数值迭代法中，初始值的选择会影响找到的最优解。