Ⅰ 证明当碰撞为完全非弹性碰撞时,系统损失机械能最多(答得好有加分喔)
用柯尼希定理很容易证明(柯尼希定理:一个质点系的总动能，等于它的质心动能与各质点相对于质心的动能之和。E=E1+E2)
在碰撞前，系统的总动能E等于质心动能与各质点相对于质心的动能之和。而在碰撞过程中以及碰撞以后，两物体的质点的速度是不变的，不管碰撞是弹性的还是非弹性的都是如此。因为碰撞中两物体之间的作用力，是系统内部的力，即内力，是不能改变系统总动量的，当然也不能改变系统质心的速度,所以不能改变质心的动能。所以，不管是什么类型的碰撞，都不能改变质心动能E1。
在碰撞以后，如果两物体粘在一起，动能E2为0,即完全非弹性碰撞.
所以碰撞为完全非弹性碰撞时,E=E1.系统损失机械能最多.
还有种解法,硬算的.挺麻烦!
两个都有速度太难算了,不如引入相对速度v(v=v1-v2).则原题简化为A以v的速度向静止的B运动
m1v=m1va+m2vb
1/2m1v^2=1/2m1va^2+1/2m2vb^2+E
(E为能量损失)
消去vb,化简得:(m1+m2)va^2-2m1vva-(m2-m1)v^2+2Em2/m1=0
关于va的二次方程有解,则
(德尔塔)<或=0
即:E<或=m1m2v^2/(2m1+2m2)
当取等号时,E最大.va=m1v/(m1+m2)
代入动量守恒式得:vb=va
所以此时为完全非弹性碰撞.
算得好辛苦啊!!!
E<或=m1m2v^2/(2m1+2m2)
当取等号时,E最大.
下面开始讲如何算出:va=m1v/(m1+m2)
把E=m1m2v^2/(2m1+2m2)代入
(m1+m2)va^2-2m1vva-(m2-m1)v^2+2Em2/m1=0
化简得:(m1+m2)va^2-2m1vva+(m1v)^2/(m1+m2)=0
这步应该不难得到,带进去时发现有两项通分后可以使方程大大简化.
接着对该方程两边同乘以(m1+m2)得:
[(m1+m2)va]^2-2(m1+m2)m1vva+(m1v)^2=0
观察发现它竟然是一个完全平方式!!
[(m1+m2)va-m1v]^2=0
即:va=m1v/(m1+m2)
幸好我数学功底还算不错~~嘿嘿
如果考试遇到这问题还是用柯尼希定理证明比较简便,这计算太变态了.并且我也确实想不到更简捷算法了.
希望你能满意!